Diagonal Bidang, Ruang, dan Bidang Diagonal pada Kubus

Diagonal Bidang Kubus

Diagonal bidang suatu kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi kubus.

Ruas garis yang menghubungkan titik sudut B dan E disebut diagonal bidang kubus. Setiap bidang pada kubus mempunyai dua diagonal bidang. Karena kubus memiliki 6 bidang sisi, maka kubus memiliki 12 diagonal bidang atau diagonal sisi. Diagonal bidang atau sisi dapat ditentukan dengan menggunakan teorema phytagoras

Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BE dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras, di mana segitiga ABE siku-siku di A. Sehingga:

BE = √(AB2 + AE2)

BE = √(s2 + s2)

BE = √2s2

BE = s√2

Misalkan diagonal bidang kubus adalah b maka secara umum diagonal bidang kubus dapat dirumuskan:

b = s√2

Diagonal Ruang Kubus

Diagonal ruang pada kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang di dalam kubus.

Garis HB disebut diagonal ruang. Selain garis HB, ada juga garis AG, garis DF, dan garis CE yang merupakan diagonal ruang kubus. Diagonal-diagonal ruang tersebut akan berpotongan di satu titik. Suatu kubus memiliki empat buah diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan pada satu titik.

Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal ruang juga menggunakan teorema phytagoras 

Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BH dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras. Tetapi sebelum itu harus cari panjang BD, di mana BD merupakan diagonal sisi. Sekarang perhatikan segitiga ABD  siku-siku di A. Sehingga:

BD = s√2

Cari panjang HB dengan teorema phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga BDH  siku-siku di D. Sehingga:

HB = √(BD2 + DH2)

HB = √(s√2)2 + s2)

HB = √(2s2 + s2)

HB = √(3s2)

HB = s√3

Misalkan diagonal ruang kubus adalah d, maka secara umum diagonal ruang kubus dapat dirumuskan:

d = s√3

Bidang Diagonal Kubus

Bidang diagonal suatu kubus adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu kubus.

Bidang ABGH disebut bidang diagonal. Kubus memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen.

Untuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumus luas persegi panjang. Pada kubus ABCD.EFGH di atas, jika rusuknya s, maka luas bidang ABGH yakni:

Luas ABGH = AB . BG

Luas ABGH = s . s√2

Luas ABGH = s2√2

Contoh Soal

Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 5 cm. Hitunglah panjang diagonal bidang, diagonal ruang dan luas salah satu bidang diagonal kubus tersebut.

Penyelesaian:

Panjang diagonal bidang yakni:

b = s√2

b = 5√2 cm

Panjang diagonal ruang yakni:

d = s√3

d = 5√3 cm

Luas bidang diagonal yakni:

Luas = s2√2

Luas = (5 cm)2√2

Luas = 25√2 cm2

Kesimpulan:

·         Karena balok dan kubus memiliki sifat yang hampir sama maka berikut sifat-sifat yang dimiliki oleh kubus juga dimiliki oleh balok.

·         Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi yang saling kongruen. Sisi (bidang) tersebut adalah bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH.

·         Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu AB , BC, CD , AD , EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH.

·         Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H.

·         Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang, di antaranya AC , BD , BG , dan CF .

·         Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu AG , BH , CE , dan DF.

Memiliki 6 bidang diagonal berbentuk persegi panjang yang saling kongruen, di antaranya bidang ACGE, BGHA, AFGD, dan BEHC.